극한이 존재할 조건

모든 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {} \frac{f \left( 2 x + 1 \right)}{f \left( x \right)}$의 값이 존재하려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {} f \left( x \right) = 0$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \alpha} {} f \left( 2 x + 1 \right) = 0$이어야 한다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 방정식 $f \left( x \right) = 0$이 중근 또는 서로 다른 세 실근을 가지면 모든 근에 대하여 ㉠을 만족시키지 못하므로 $f \left( x \right) = 0$의 실근의 개수는 $1$이고 그 근을 $t$라 하면 $t = 2 t + 1$ $\therefore$ $t = - 1$ $f \left( - 1 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + 4$에서 $- 1 + a - b + 4 = 0$, $b = a + 3$ $f \left( x \right)$$= x ^{3} + ax ^{2} + \left( a + 3 \right) x + 4$ $= \left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( a - 1 \right) x + 4 \right\}$ 이차방정식 $x ^{2} + \left( a - 1 \right) x + 4 = 0$은 실근을 가지지 않아야 하므로 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( a - 1 \right) ^{2} - 4 ^{2} < 0$ $\left( a - 5 \right) \left( a + 3 \right) < 0$ $\therefore$ $- 3 < a < 5$ $f \left( 1 \right) = 2 a + 8$에서 $a$가 정수이므로 $f \left( 1 \right)$의 최댓값은 $a = 4$일 때 $16$이다.