극한이 존재하지 않는 t

[출제의도] 연속함수의 성질을 이용하여 극한값을 계산할 수 있는가? 함수 $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \left( x + 3 \right) f \left( x \right) & \left( x < 0 \right) \\ \begin{aligned} \\ \left( x + a \right) f \left( x - b \right) \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( x \geq 0 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이 실수 전체에서 연속이려면 $x$$= 0$에서 연속이어야 한다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$$= g \left( 0 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이 성립한다. 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( x + 3 \right) f \left( x \right)$$= 3 f \left( 0 \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( x + a \right) f \left( x - b \right)$$= a f \left( - b \right)$, $g \left( 0 \right)$$= a f ( - b )$ 이므로 ㉠에서 $3 f \left( 0 \right)$$= af \left( - b \right)$ $\cdots \cdots$ ㉡ 한편, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} \frac{{\sqrt{| g ( x ) | + \left\{ g ( t ) \right\} ^{2}}} - | g ( t ) |}{( x + 3 ) ^{2}}$ $=$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} {}$$\displaystyle \frac{| g ( x ) |}{( x + 3 ) ^{2} \left\{ \sqrt{| g ( x ) | + \left\{ g ( t ) \right\} ^{2}} + | g ( t ) | \right\}}$ $=$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} {}$$\displaystyle \frac{| ( x + 3 ) f ( x ) |}{( x + 3 ) ^{2} \left\{ \sqrt{| g ( x ) | + \left\{ g ( t ) \right\} ^{2}} + | g ( t ) | \right\}}$ $=$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} {} \frac{| ( x + 3 ) f ( x ) |}{( x + 3 ) ^{2} \times 2 \left| g \left( t \right) \right|}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 이때 $t \ne - 3$이고 $t \ne 6$인 모든 실수 $t$에 대하여 ㉢의 값이 존재하므로 $f ( x ) = ( x + 3 ) ( x + k )$ ($k$는 상수) 의 꼴이어야 하고, ㉢에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} {} \frac{| ( x + 3 ) f ( x ) |}{( x + 3 ) ^{2} \times 2 \left| g \left( t \right) \right|}$ $=$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} {} \frac{| ( x + 3 ) \left( x + k \right) |}{( x + 3 ) ^{2} \times 2 \left| g \left( t \right) \right|}$ $=$$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} {} \frac{| x + k |}{2 \left| g \left( t \right) \right|}$ $\cdots \cdots$ ㉣ 이때 $t$$= 3$과 $t$$= 6$에서만 ㉣의 값이 존재하지 않으므로 방정식 $g \left( x \right)$$= 0$의 모든 실근은 $x$$= \mathit{-} 3$과 $x$$= 6$ 뿐이다. 주어진 식에서 $g \left( - 3 \right)$$= 0$이므로 $g \left( 6 \right)$$= 0$, 즉 $\left( 6 + a \right) f \left( 6 - b \right)$$= 0$ 이어야 한다. 이때 $a > 0$이므로 $f \left( 6 - b \right)$$= 0$에서 $6 - b$$= \mathit{-} 3$ 또는 $6 - b$$= \mathit{-} k$ 따라서 $b$$= 9$ 또는 $k - b$$= \mathit{-} 6$ (ⅰ) $b$$= 9$인 경우 $x < 0$에서 $g \left( x \right)$$= \left( x + 3 \right) f \left( x \right)$$= \left( x + 3 \right) ^{2} \left( x + k \right)$ 이때 $x < 0$에서 $g \left( x \right)$$= 0$의 해는 $- 3$뿐이므로 $- k \geq 0$ 또는 $k$$= 3$ $\cdots \cdots$ ㉤ $x \geq 0$에서 $g \left( x \right)$$= \left( x + a \right) f \left( x - 9 \right)$ $= \left( x + a \right) \left( x - 6 \right) \left( x - 9 + k \right)$ 이때 $x \geq 0$에서 $g \left( x \right)$$= 0$의 해는 $6$뿐이므로 $9 - k < 0$ 또는 $9 - k$$= 6$ $\cdots \cdots$ ㉥ ㉤, ㉥에서 $k$$= 3$ 따라서 $f \left( x \right)$$= \left( x + 3 \right) ^{2}$이므로 ㉡에서 $3 \times 3 ^{2}$$= af \left( - 9 \right)$, $27$$= 36 a$ $a$$\displaystyle = \frac{3}{4}$ 따라서 $g \left( 4 \right)$$= \left( 4 + a \right) f \left( 4 - b \right)$$\displaystyle = \left( 4 + \frac{3}{4} \right) f \left( - 5 \right)$$\displaystyle = \frac{19}{4} \times \left( - 2 \right) ^{2}$$= 19$ (ⅱ) $k - b$$= \mathit{-} 6$인 경우 $x < 0$에서 $g \left( x \right)$$= \left( x + 3 \right) f \left( x \right)$$= \left( x + 3 \right) ^{2} \left( x + k \right)$ 이때 $x < 0$에서 $g \left( x \right)$$= 0$의 해는 $- 3$뿐이므로 $- k \geq 0$ 또는 $k$$= 3$ $x \geq 0$에서 $g \left( x \right)$$= \left( x + a \right) f \left( x - b \right)$ $= \left( x + a \right) \left( x - b + 3 \right) \left( x - b + k \right)$ $= \left( x + a \right) \left( x - b + 3 \right) \left( x - 6 \right)$ 이때 $x \geq 0$에서 $g \left( x \right)$$= 0$의 해는 $6$뿐이고, $b > 3$이므로 $b - 3$$= 6$에서 $b$$= 9$ $k - b$$= \mathit{-} 6$에서 $k$$= \mathit{3}$ 따라서 (ⅰ)과 같은 결과이므로 $g \left( 4 \right)$$= \mathit{19}$이다.