미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

극한으로 정의한 함수 불연속

문제

삼차함수 y=f(x)y = f ( x )가 극대값 12\displaystyle \frac{1}{2}, 극소값 −2- 2를 가질 때, 함수 g(x)g ( x )를 다음과 같이 정의한다. g(x)=lim⁡n→∞11+{f(x)}2n\displaystyle g ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{1 + \left\{ f ( x ) \right\} ^{2 n}} 이때, 실수 전체의 집합에서 함수 y=g(x)y = g ( x )는 x=αx = \alpha에서 불연속이다. α\alpha의 개수는? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

(ⅰ) ∣f(x)∣<1| f ( x ) | < 1일 때 g(x)=1g ( x ) = 1 (ⅱ) ∣f(x)∣=1| f ( x ) | = 1일 때 g(x)=12\displaystyle g ( x ) = \frac{1}{2} (ⅲ) ∣f(x)∣>1| f ( x ) | > 1일 때 g(x)=0g ( x ) = 0 따라서 함수 y=g(x)y = g ( x )는 f(x)=1f ( x ) = 1 또는 f(x)=−1f ( x ) = - 1일 때 불연속이다. f(x)=1f ( x ) = 1인 xx는 11개, f(x)=−1f ( x ) = - 1인 xx는 33개이므로 실수전체의 집합에서 불연속인 xx는 44개다.

태그

#불연속#수열의 극한#삼차함수

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