극한으로 정의된 연속함수

$g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{\left| x - 2 \right| ^{2 n + 1} + f \left( x \right)}{\left| x - 2 \right| ^{2 n} + k} & \left( \left| x - 2 \right| \ne 1 \right) \\ \frac{\left| f \left( x + 1 \right) \right|}{k + 1} & \left( \left| x - 2 \right| = 1 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} \left| x - 2 \right| & \left( x < 1 , x > 3 \right) \\ \frac{f \left( x \right)}{k} & \left( 1 < x < 3 \right) \\ \frac{\left| f \left( 2 \right) \right|}{k + 1} & \left( x = 1 \right) \\ \frac{\left| f \left( 4 \right) \right|}{k + 1} & \left( x = 3 \right) \end{cases}}$ 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle g \left( 3 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {} g \left( x \right)$에서 $\displaystyle \frac{\left| f \left( 4 \right) \right|}{k + 1} = \frac{f \left( 3 \right)}{k} = 1$, $f \left( 3 \right) = k$, $\left| f \left( 4 \right) \right| = k + 1$ $\displaystyle g \left( 1 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g \left( x \right)$에서 $\displaystyle \frac{\left| f \left( 2 \right) \right|}{k + 1} = \frac{f \left( 1 \right)}{k} = 1$, $f \left( 1 \right) = k$, $\left| f \left( 2 \right) \right| = k + 1$ 이차함수 $f \left( x \right)$는 $f \left( 1 \right) = f \left( 3 \right) = k$이므로 $f \left( x \right) = a \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) + k$ (단, $a$는 상수) 로 놓을 수 있다. $\left| f \left( 4 \right) \right| = k + 1$, $\left| f \left( 2 \right) \right| = k + 1$에서 $f \left( 2 \right) + f \left( 4 \right) = 0$, $\left( - a + k \right) + \left( 3 a + k \right) = 0$ $\therefore$ $a = - k$ ($k > 0$), $f \left( x \right) = - k \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) + k$ $f \left( 2 \right) = 2 k$이고, $\left| f \left( 2 \right) \right| = k + 1$이므로 $2 k = k + 1$ $k = 1$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$와 $g \left( x \right)$는 아래와 같다. $f \left( x \right) = - \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) + 1$ $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \left| x - 2 \right| & \left( x < 1 , x > 3 \right) \\ - \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) + 1 & \left( 1 \leq x \leq 3 \right) \end{cases}}$

닫힌구간 $\left[ 1 , 3 \right]$에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$일 때 $g \left( 1 \right) = g \left( 3 \right) = 1$이고, $x = 2$일 때 최댓값 $g \left( 2 \right) = 2$이므로 $1 \leq g \left( x \right) \leq 2$ 함수 $f \left( g \left( x \right) \right)$는 $x = 1$ 또는 $x = 3$일 때 최솟값 $f \left( 1 \right) = 1$ $x = 2$일 때 최댓값 $f \left( 2 \right) = 2$ 를 가지므로 $M = 2$, $m = 1$ $\therefore$ $10 \left( M + m \right)$$= 30$