미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한으로 정의된 함수 연속

문제

집합 {x∣x>0}\left\{ x | x > 0 \right\}에서 정의된 함수 f(x)=lim⁡n→∞axn+1−2a−12xn+3\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax ^{n + 1} - 2 a - 1}{2 x ^{n} + 3}} 이 x=1x = 1에서 연속일 때, 상수 aa의 값은? [4점] ①−67\displaystyle - \frac{6}{7}②−57\displaystyle - \frac{5}{7}③−47\displaystyle - \frac{4}{7}④−37\displaystyle - \frac{3}{7}⑤−27\displaystyle - \frac{2}{7}

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⑤

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해설

[출제의도] 극한으로 표현된 함수의 연속성 이해하기 (i) 0<x<10 < x < 1인 경우 lim⁡n→∞xn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{n}} = 0이므로 f(x)=lim⁡n→∞axn+1−2a−12xn+3\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax ^{n + 1} - 2 a - 1}{2 x ^{n} + 3}}=−2a−13\displaystyle = \frac{- 2 a - 1}{3} (ii) x=1x = 1인 경우 f(1)=a−2a−12+3=−a−15\displaystyle f ( 1 ) = \frac{a - 2 a - 1}{2 + 3} = \frac{- a - 1}{5} (iii) x>1x > 1인 경우 lim⁡n→∞xn=∞\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{n} = \infty}이므로 lim⁡n→∞1xn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{x ^{n}} = 0 f(x)=lim⁡n→∞axn+1−2a−12xn+3\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax ^{n + 1} - 2 a - 1}{2 x ^{n} + 3}}=lim⁡n→∞ax−2a+1xn2+3xn=a2x\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax - \frac{2 a + 1}{x ^{n}}}{2 + \frac{3}{x ^{n}}} = \frac{a}{2} x} x=1x = 1에서 연속이므로 lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)=f(1)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) = f ( 1 )}} a2=−2a−13=−a−15\displaystyle \frac{a}{2} = \frac{- 2 a - 1}{3} = \frac{- a - 1}{5} 따라서 a=−27\displaystyle a = - \frac{2}{7}

태그

#연속#수열의 극한

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