미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한으로 정의된 함수 연속

문제

일차함수 $f ( x ) = 3 x + a$ 와 함수 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} - x + 2 \\ \end{aligned} & \begin{aligned} ( x \leq - 1 ) \\ \end{aligned} \\ \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2 n + 1} + 3}{x ^{2 n} + 1}} & ( x > - 1 ) \end{cases}}$ 에 대하여 함수 $f ( x ) g ( x )$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f ( 11 )$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이다.) [4점]

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[출제의도] 연속함수의 정의 이해하기 함수 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} - x + 2 & ( x \leq - 1 ) \\ 3 & ( | x | < 1 ) \\ 2 & ( x = 1 ) \\ x & ( x > 1 ) \end{cases}}$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$ 는 $x = 1$ 에서만 불연속이다.

$y = g \left( x \right)$

함수 $f ( x ) g ( x )$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle f ( 1 ) g ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x ) g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) g ( x )}}$ $\displaystyle ( 3 + a ) \times 2 = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {( 3 x + a ) x = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {( 3 x + a ) \times 3}}$ $a = - 3$ 이므로 $f ( x ) = 3 x - 3$ 따라서 $f ( 11 ) = 30$

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