미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

극한으로 정의된 함수 연속

문제

두 실수 a,ba , b에 대하여 함수 f(x)=lim⁡n→∞−a∣x∣−∣x∣n+b∣x∣n+1\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{- a \left| x \right| - \left| x \right| ^{n} + b}{\left| x \right| ^{n} + 1} 가 모든 실수 xx에서 연속일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [보 기] ㄱ. a−b=1a - b = 1 ㄴ. 함수 f(x)f ( x )의 최솟값은 −1- 1이다. ㄷ. a<1a < 1일 때, 함수 f(x)f ( x )의 그래프는 xx축과 만나지 않는다.

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제 의도] 함수의 극한과 연속성 이해하기 f(x)={−a∣x∣+b(∣x∣<1)−a−1+b2(∣x∣=1)−1(∣x∣>1)\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} - a \left| x \right| + b & ( \left| x \right| < 1 ) \\ \frac{- a - 1 + b}{2} & ( \left| x \right| = 1 ) \\ - 1 & ( \left| x \right| > 1 ) \end{cases} ㄱ. 함수 f(x)f ( x )가 연속함수이므로 lim⁡x→1f(x)=f(1)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} f ( x ) = f ( 1 )이다. ∴a−b=1\therefore a - b = 1 (참) ㄴ. (반례) a=−1,b=−2a = - 1 , b = - 2일 때, 함수 f(x)f ( x )의 최솟값은 −2- 2이다. (거짓) ㄷ. a<1a < 1일 때, b<0b < 0이므로 함수 f(x)f ( x )의 그래프는 xx축과 만나지 않는다. (참)

태그

#함수의 연속#수열의 극한#보기 판단

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