미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한으로 정의된 함수 연속

문제

함수 f(x)=x2−4x+af ( x ) = x ^{2} - 4 x + a와 함수 g(x)=lim⁡n→∞2∣x−b∣n+1∣x−b∣n+1\displaystyle g ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{2 | x - b | ^{n} + 1}{| x - b | ^{n} + 1}에 대하여 h(x)=f(x)g(x)h ( x ) = f ( x ) g ( x )라 하자. 함수 h(x)h ( x )가 모든 실수 xx에서 연속이 되도록 하는 두 상수 a,ba , b의 합 a+ba + b의 값은? [3점] ①33②44③55④66⑤77

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③

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해설

f(x)=(x−2)2+a−4f ( x ) = ( x - 2 ) ^{2} + a - 4이므로 함수 f(x)f ( x )의 그래프는 직선 x=2x = 2에 대하여 대칭인 연속함수이다. 한편, g(x)g ( x )를 간단히 하면 다음과 같다. (i) ∣x−b∣>1| x - b | > 1일 때 g(x)=2g ( x ) = 2 (ii) ∣x−b∣=1| x - b | = 1일 때 g(x)=32\displaystyle g ( x ) = \frac{3}{2} (iii) ∣x−b∣<1| x - b | < 1일 때 g(x)=1g ( x ) = 1 이때 ∣x−b∣=1| x - b | = 1 ⇔ x=b−1x = b - 1 또는 x=b+1x = b + 1이므로 함수 g(x)g ( x )의 그래프는 다음과 같다.

이때, 함수 g(x)g ( x )는 x=b−1x = b - 1, x=b+1x = b + 1일 때 불연속이므로 함수 h(x)=f(x)g(x)h ( x ) = f ( x ) g ( x )가 모든 실수 xx에 연속이 되려면 f(b−1)=f(b+1)=0f ( b - 1 ) = f ( b + 1 ) = 0이어야 한다. 따라서 y=f(x)y = f ( x )의 대칭축의 방정식은 x=2=bx = 2 = b ⋯㉠이고, f(3)=9−12+a=0f ( 3 ) = 9 - 12 + a = 0 ⋯㉡ 이어야 한다. ㉠, ㉡에서 a=3,b=2a = 3 , b = 2 ∴ a+b=5a + b = 5

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