극한으로 정의된 함수 실근

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 추론하기 $\left| x \right| > 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{x ^{2 n}}$$= 0$이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a + \frac{b}{x} + \frac{1}{x ^{2 n - 1}}}{1 + \frac{2}{x ^{2 n}}}$$\displaystyle = a + \frac{b}{x}$ $x = 1$일 때, $f \left( 1 \right)$$\displaystyle = \frac{a + b + 1}{3}$ $x = \mathit{-} 1$일 때, $f \left( - 1 \right)$$\displaystyle = \frac{a - b - 1}{3}$ $\left| x \right| < 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} x ^{2 n}$$= 0$이므로 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{ax ^{2 n} + bx ^{2 n - 1} + x}{x ^{2 n} + 2}$$\displaystyle = \frac{0 + 0 + x}{0 + 2}$$\displaystyle = \frac{x}{2}$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) {\begin{cases} \begin{aligned} a + \frac{b}{x} \\ \\ \frac{a + b + 1}{3} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( \left| x \right| > 1 \right) \\ \\ \\ \left( x = 1 \right) \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} \frac{a - b - 1}{3} \\ \\ \frac{x}{2} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x = - 1 \right) \\ \\ \\ \left( \left| x \right| < 1 \right) \\ \end{aligned} \end{cases}}$ 함수 $g \left( x \right)$$= 2 \left( x - 1 \right) + m$이라 하면 방정식 $f \left( x \right)$$= 2 \left( x - 1 \right) + m$의 실근의 개수는 두 함수 $y$$= f \left( x \right)$, $y$$= g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점의 개수와 같다. $x < \mathit{-} 1$에서 $f \left( x \right)$는 감소하고 $x > 1$에서 $f \left( x \right)$는 감소하므로 $\left| x \right| > 1$에서 두 함수 $y$$= f \left( x \right)$, $y$$= g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 $2$이고, $\left| x \right| < 1$에서 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 일차함수이므로 두 함수 $y$$= f \left( x \right)$, $y$$= g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 $1$이다. 그러므로 $c _{k}$$= 5$인 자연수 $k$가 존재하려면 $f \left( 1 \right)$$= g \left( 1 \right)$, $f \left( - 1 \right)$$= g \left( - 1 \right)$이어야 하고, 두 함수 $y$$= f \left( x \right)$, $y$$= g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같아야 한다.

즉, 직선 $y$$= 2 \left( x - 1 \right) + k$는 두 점 $\displaystyle \left( 1 , \frac{a + b + 1}{3} \right)$, $\displaystyle \left( - 1 , \frac{a - b - 1}{3} \right)$을 지나므로 $\displaystyle \frac{a + b + 1}{3}$$= k$, $\displaystyle \frac{a - b - 1}{3}$$= k - 4$에서 $b = 5$ $k$$\displaystyle = \frac{a}{3} + 2$가 자연수이므로 $a$는 $3$의 배수이다. $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {} f \left( x \right) < f \left( - 1 \right) < \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {} f \left( x \right)$이어야 하므로 $\displaystyle a - 5 < \frac{a}{3} - 2 < \mathit{-} \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle a < \frac{9}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ $a > 0$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} < \frac{a}{3} + 2 < a + 5$가 성립하며 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f \left( x \right) < f \left( 1 \right) < \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f \left( x \right)$를 만족시킨다. ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle 0 < a < \frac{9}{2}$이므로 $a = 3$, $k = 3$

(ⅰ) $m = 1$일 때 $g \left( - 1 \right)$$= \mathit{-} 3$, $g \left( 1 \right)$$= 1$이므로 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 $- 1 < x < 1$, $x > 1$에서 각각 $1$개씩 교점을 갖는다. 그러므로 $c _{1}$$= 2$ (ⅱ) $m = 2$일 때 $g \left( - 1 \right)$$= \mathit{-} 2$, $g \left( 1 \right)$$= 2$이므로 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 $x$$= 0$, $x > 1$에서 각각 $1$개씩 교점을 갖는다. 그러므로 $c _{2}$$= 2$ (ⅲ) $m = 3$일 때 $m$$= k$$= 3$이므로 $c _{3}$$= 5$ (ⅳ) $4 \leq m \leq 7$일 때 $\displaystyle g \left( - 1 \right) > \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2}$, $\displaystyle g \left( 1 \right) < \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f \left( x \right)$$= 8$이므로 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 $x < \mathit{-} 1$, $x > 1$에서 각각 $1$개씩 교점을 갖는다. 그러므로 $c _{m}$$= 2$ (ⅴ) $m \geq 8$일 때 $\displaystyle g \left( - 1 \right) > \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2}$, $g \left( 1 \right)$$\displaystyle \geq \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f \left( x \right)$$= 8$이므로 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 $x < \mathit{-} 1$에서 $1$개의 교점을 갖는다. 그러므로 $c _{m}$$= 1$ (ⅰ)~(ⅴ)에 의해 $\displaystyle k + \sum\limits _{m = 1} ^{\infty} \left( c _{m} - 1 \right)$$= 3 + 1 + 1 + 4 + 1 \times 4$$= 13$