극한으로 정의된 함수

[출제의도] 함수의 극한과 연속 추론하기 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{| x | ^{n} + 2 | x | + 1}{| x | ^{n} + 1}$에서 ⅰ) $| x | < 1$일 때, $f ( x ) = 2 | x | + 1$ ⅱ) $| x | = 1$일 때, $f ( x ) = 2$ ⅲ) $| x | > 1$일 때, $f ( x ) = 1$

$y = f ( x )$

ㄱ. $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \left| \frac{1}{2} \right| + 1 = 2$ (참) ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} ( 2 | x | + 1 ) = 3$ (참) ㄷ. $g ( x ) = ( x ^{2} - 1 ) f ( x )$라 하면, 함수 $y = x ^{2} - 1$은 실수 전체의 집합에서 연속이고 함수 $y = f ( x )$는 $x \neq \pm 1$인 모든 실수 $x$에서 연속이므로 $x = 1$, $x = - 1$에서의 연속성을 조사하면 된다. ⅰ) $x = 1$일 때, $g ( 1 ) = 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} \left\{ ( x ^{2} - 1 ) \times 1 \right\} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {} ( x ^{2} - 1 ) ( 2 | x | + 1 ) = 0$ 이므로 $g ( x )$는 $x = 1$에서 연속이다. ⅱ) $x = - 1$일 때, $g ( - 1 ) = 0$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 + 0} {} ( x ^{2} - 1 ) ( 2 | x | + 1 ) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 - 0} {} \left\{ ( x ^{2} - 1 ) \times 1 \right\} = 0$ 이므로 $g ( x )$는 $x = - 1$에서 연속이다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 함수 $g ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ