극한 조건과 접선

[출제의도] 이해능력-다항함수의 미분법 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{f ( x ) - 1}{x ^{2} - 4} = - 1$ 에서 $x \rightarrow 2$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} f ( x ) = 1$이어야 한다. 그런데 다항함수 $f ( x )$는 연속함수이므로 $f ( 2 ) = 1$ 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{f ( x ) - 1}{x ^{2} - 4}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} \times \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{1}{x + 2}$ $\displaystyle = f' ( 2 ) \times \frac{1}{2 + 2} = - 1$ 이므로 $f' ( 2 ) = - 4$ $y = ( x + 1 ) f ( x )$에서 $x = 2$일 때 $y = ( 2 + 1 ) f ( 2 ) = 3 \times 1 = 3$이므로 $a = 3$ 또, $y = ( x + 1 ) f ( x )$에서 $y' = f ( x ) + ( x + 1 ) f' ( x )$이므로 곡선 $y = ( x + 1 ) f ( x )$ 위의 점 $( 2 , 3 )$에서의 접선의 기울기는 $f ( 2 ) + ( 2 + 1 ) f' ( 2 ) = 1 + 3 \times ( - 4 ) = - 11$ 이므로 접선의 방정식은 $y - 3 = - 11 ( x - 2 )$ 즉, $y = - 11 x + 25$ 따라서 $y$절편은 $b = 25$이므로 $a + b = 3 + 25 = 28$