극한 조건 삼차함수

[출제의도] 함수의 극한값을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x}$$= 1$에서 $x \rightarrow 0$이면 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 따라서 $f \left( 0 \right)$$= 0$ 같은 방법으로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f \left( x \right)}{x - 1}$$= 1$에서 $f \left( 1 \right)$$= 0$ 따라서 삼차함수 $f \left( x \right)$를 $f \left( x \right)$$= x \left( x - 1 \right) \left( ax + b \right)$ ($a , b$는 상수) 로 놓을 수 있다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left( x - 1 \right) \left( ax + b \right)$$= \mathit{-} b$ 이므로 $b$$= \mathit{-} 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f \left( x \right)}{x - 1}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} x \left( ax + b \right)$$= a + b$ 이므로 $a + b$$= 1$ 따라서 $a$$= 2$이므로 $f \left( x \right)$$= x \left( x - 1 \right) \left( 2 x - 1 \right)$ 따라서 $f \left( 2 \right)$$= 2 \times 1 \times 3$$= 6$ 수학교실 다른 풀이

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x}$$= 1$에서 $x \rightarrow 0$이면 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 따라서 $f \left( 0 \right)$$= 0$ 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x}$$= f' \left( 0 \right)$$= 1$ 같은 방법으로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f \left( x \right)}{x - 1}$$= 1$에서 $f \left( 1 \right)$$= 0$, $f' \left( 1 \right)$$= 1$ 함수 $f \left( x \right)$는 삼차함수이고 $f' \left( 0 \right)$$= f' \left( 1 \right)$$= 1$이므로 $f' \left( x \right)$$= ax \left( x - 1 \right) + 1$, 즉 $f' \left( x \right)$$= ax ^{2} - ax + 1$ 이라 놓으면 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{a}{2} x ^{2} + x + C$ ($C$는 적분상수) $f \left( 0 \right)$$= 0$에서 $C$$= 0$ $f \left( 1 \right)$$= 0$에서 $\displaystyle \frac{a}{3} - \frac{a}{2} + 1$$= 0$ $a$$= 6$이므로 $f \left( x \right)$$= 2 x ^{3} - 3 x ^{2} + x$ $\therefore f \left( 2 \right)$$= 6$