미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

극한 함수와 연속 조건

문제

최고차항의 계수가 11인 이차함수 f(x)f ( x )와 두 함수 g(x)=lim⁡n→∞x2n−1−1x2n+1,h(x)={∣x∣x(x≠0)0(x=0)\displaystyle g ( x ) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{x ^{2n-1} - 1}{x ^{2n} + 1} , h ( x ) = \begin{cases} \frac{| x |}{x} ( x \ne 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \end{cases} 에 대하여 함수 f(x)g(x)f ( x ) g ( x )와 함수 f(x)h(x)f ( x ) h ( x )가 모두 연속함수일 때, f(10)f ( 10 )의 값을 구하시오. [4점]

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9090

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해설

g(x)={1x(x>1)0(x=1)−1(−1<x<1)−1(x=1)1x(x<−1)\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} \frac{1}{x} ( x > 1 ) \\ 0 ( x = 1 ) \\ - 1 ( - 1 < x < 1 ) \\ - 1 ( x = 1 ) \\ \frac{1}{x} ( x < - 1 ) \end{cases} h(x)={1(x>0)0(x=0)−1(x<0)\displaystyle h ( x ) = \begin{cases} 1 ( x > 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \\ - 1 ( x < 0 ) \end{cases}

y=f(x)⋅g(x)y = f ( x ) \cdot g ( x )가 연속이므로 f(1)⋅g(1)=0f ( 1 ) \cdot g ( 1 ) = 0, lim⁡x→1+0f(x)g(x)=f(1)=0\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} f ( x ) g ( x ) = f ( 1 ) = 0 y=f(x)⋅h(x)y = f ( x ) \cdot h ( x )가 연속이므로 f(0)⋅h(0)=0f ( 0 ) \cdot h ( 0 ) = 0, lim⁡x→+0f(x)h(x)=f(0)=0\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow +0} f ( x ) h ( x ) = f ( 0 ) = 0 ∴ f(x)=x⋅(x−1)f ( x ) = x \cdot ( x - 1 ) ∴ f(10)=90f ( 10 ) = 90

태그

#함수의 연속#수열의 극한

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