극한 함수와 실근 개수

$\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{x ^{2n+1}}{1 + x ^{2n}}$에서 (ⅰ)$| x | > 1$일 때 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{\frac{1}{x ^{2n}} + 1} = x$ (ⅱ)$| x | < 1$일 때 $f ( x ) = 0$ (ⅲ) $x = 1$일 때 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2}$ (ⅳ) $x = - 1$일 때 $\displaystyle f ( x ) = - \frac{1}{2}$

방정식 $f ( x ) - g ( x ) = 0$이 단 하나의 실근을 가지려면$f ( x ) = g ( x )$에서 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 그래프가 오직 한 점에서만 만나야 한다. $y = g ( x )$의 그래프는 원점 대칭이므로 점 (1, 1), (-1, -1)을 지날 때 $a$의 값이 최대이다. $g ( 1 ) = 1$에서 $1 = - ( 1 - a ^{2} )$ $a ^{2} = 2$　　∴$\displaystyle a = \pm \sqrt{2}$ 따라서, $a$의 최대값은 $\displaystyle \sqrt{2}$이다.