미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한 함수의 연속

문제

두 함수 f(x)f ( x )와 g(x)g ( x )가 f(x)={lim⁡n→∞2xn+2+6xn+3(x≠−1)a(x=−1)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{n + 2} + 6}{x ^{n} + 3}} & ( x \ne - 1 ) \\ a & ( x = - 1 ) \end{cases}} g(x)=x2−axg ( x ) = x ^{2} - ax 일 때, 함수 f(x)g(x)f ( x ) g ( x )가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 aa의 값의 합은? [4점]

①-2②-1③0④1⑤2

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④

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해설

[출제의도] 함수의 연속에 대해 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. f(x)={2(x≠−1)a(x=−1)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 & \left( x \ne - 1 \right) _{} \\ a & \left( x = - 1 \right) ^{} \end{cases}}이므로 f(x)g(x)={2(x2−ax)(x≠−1)a(x2−ax)(x=−1)\displaystyle f \left( x \right) g \left( x \right) = {\begin{cases} 2 \left( x ^{2} - ax \right) _{} & \left( x \ne - 1 \right) _{} \\ a \left( x ^{2} - ax \right) ^{} & \left( x = - 1 \right) ^{} \end{cases}} 함수 f(x)g(x)f \left( x \right) g \left( x \right)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=−1x = - 1에서 연속이다. lim⁡x→−1f(x)g(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {f \left( x \right) g \left( x \right)}=lim⁡x→−12(x2−ax)=2(1+a)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {2 \left( x ^{2} - ax \right) = 2 \left( 1 + a \right)} f(−1)g(−1)=a(1+a)f \left( - 1 \right) g \left( - 1 \right) = a ( 1 + a )에서 2(1+a)=a(1+a)2 \left( 1 + a \right) = a \left( 1 + a \right)이므로 a=−1,2a = - 1 , 2 따라서 모든 실수 aa의 합은 11

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#연속#수열의 극한

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