극한 함수 연속

[출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 문제 해결하기 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

함수 $f ( x )$는 $x = - 1 , 1$에서 불연속이다. 함수 $g ( x ) = x ^{2} + ax + b$라 하면 함수 $f ( x ) g ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x = 1$과 $x = - 1$에서 연속이다. $x = 1$에서 연속이므로 $\displaystyle f ( 1 ) g ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {f ( x ) g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {f ( x ) g ( x )}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 1 + a + b \right) = 1 \left( 1 + a + b \right) = 0$에서 $a + b = - 1$ …… ㉠ $x = - 1$에서 연속이므로 $\displaystyle f \left( - 1 \right) g \left( - 1 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {f \left( x \right) g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {f \left( x \right) g \left( x \right)}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 1 - a + b \right) = 0 = 1 \left( 1 - a + b \right)$에서 $a - b = 1$ …… ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $a = 0$, $b = - 1$이므로 $g ( x ) = x ^{2} - 1$ 따라서 $g ( 8 ) = 63$