미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 함수 연속

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax ^{n + 1} + 4 x + 1}{x ^{n} + b}}$ 이 $x = 1$ 에서 연속이 되도록 자연수 $a$ , $b$ 의 값을 정할 때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$\displaystyle f ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} {f ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} {f ( x )}}$ 이어야 하므로 $\displaystyle \frac{a + 5}{1 + b} = a = \frac{5}{b}$ 에서 $ab = 5$ $a = 1$ , $b = 5$ 또는 $a = 5$ , $b = 1$ 이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 26$

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