극한 함수 교점 개수

[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이해하여 주어진 문제를 해결한다. $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2 n}}}$을 구하면 ⅰ) $\left| x \right| > 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{x ^{2 n}}} = 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2 n}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x}{\frac{1}{x ^{2 n}} + 1}} = 2 x$ ⅱ) $\left| x \right| < 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n + 1}} = 0$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2 n}}} = 0$ ⅲ) $x = 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n + 1}} = 1$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2 n}}} = 1$ ⅳ) $x = - 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}} = 1$이고, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n + 1}} = - 1$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2 n}}} = - 1$ ⅰ) ~ ⅳ)에 의해 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 x & \left( \left| x \right| > 1 \right) \\ 0 & \left( \left| x \right| < 1 \right) \\ 1 & \left( x = 1 \right) \\ - 1 & \left( x = - 1 \right) \end{cases}}$ 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다. (1) $a = 0$인 경우, 서로 다른 세 점에서 만난다.

(2) $a = 1$인 경우, 서로 만나지 않는다.

$h \left( 0 \right) = 3$이고, $h \left( 1 \right) = 0$에서 $\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow 1 +} {h \left( a \right)} = 1$이다. 따라서 $\displaystyle h \left( 0 \right) + \lim\limits _{a \rightarrow 1 +} {h \left( a \right)} = 3 + 1 = 4$