극값 x 좌표 보기 판정

$f' ( x ) = - \sin x + 2 \sin x + 2 x \cos x = \sin x + 2 x \cos x$ $= \cos x ( 2 x + \tan x ) = \cos ( 2 x - ( - \tan x ) )$ ㄱ. $f' ( \alpha ) = 0$이므로 $2 \alpha + \tan \alpha = 0$, $\therefore \tan \alpha = - 2 \alpha$ $\tan ( \pi + \alpha ) = \tan \alpha = - 2 \alpha$ ∴ ㄱ은 참 ㄴ. 아래 그림에서

$\displaystyle \frac{3}{2} \pi < \beta < \pi + \alpha < 2 \pi$이므로 $\displaystyle g' ( x ) = \sec ^{2} x = \frac{1}{\cos ^{2} x}$는 감소함수다. $\beta < \pi + \alpha$이므로 $g' ( \beta ) > g' ( \pi + \alpha )$이다. ∴ ㄴ은 참 ㄷ.

$( \beta , - \tan \beta )$, $( \pi + \alpha , - \tan ( \pi + \alpha ) )$ 두 점 사이의 기울기는 $\displaystyle - \tan ( \pi + \alpha ) - ( - \frac{\tan \beta )}{( \pi + \alpha ) - \beta} = \frac{2 \alpha - 2 \beta}{\pi + \alpha - \beta}$ 위 그림에 의해 $\displaystyle \frac{( 2 \alpha - 2 \beta )}{\pi + \alpha - \beta} < - \sec ^{2} ( \pi + \alpha ) = - \sec ^{2} \alpha$ $\displaystyle \therefore \frac{2 ( \beta - \alpha )}{\pi + \alpha - \beta} > \sec ^{2} \alpha$ ∴ ㄷ은 거짓 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.