극값 위치 구간

[출제의도] 미분법과 중간값의 정리를 이용하여 극값이 존재하는 구간을 구한다. 미분가능한 함수 $f ( x )$가 $x = a$에서 극값을 가지므로 $f' ( a ) = 0$이어야 한다. $f ( x ) = e ^{- x} \left( \ln x - 2 \right)$이므로 $\displaystyle f' ( x ) = - e ^{- x} \left( \ln x - 2 \right) + e ^{- x} \times \frac{1}{x}$ $\displaystyle = e ^{- x} \left( \frac{1}{x} - \ln x + 2 \right)$ 모든 실수 $x$에 대하여 $e ^{- x} > 0$이므로 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{x} - \ln x + 2$라 하면 $g ( a ) = 0$이어야 한다. $\displaystyle g' ( x ) = - \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x}$$\displaystyle = - \frac{1 + x}{x ^{2}} < 0$ $( \because x > 0 )$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x > 0$에서 연속이고 감소한다. $g \left( 1 \right) = 1 - \ln 1 + 2 = 3 > 0$ $\displaystyle g \left( e \right) = \frac{1}{e} - \ln e + 2 = \frac{1}{e} + 1 > 0$ $\displaystyle g \left( e ^{2} \right) = \frac{1}{e ^{2}} - \ln e ^{2} + 2 = \frac{1}{e ^{2}} > 0$ $\displaystyle g \left( e ^{3} \right) = \frac{1}{e ^{3}} - \ln e ^{3} + 2 = \frac{1}{e ^{3}} - 1 < 0$ 그러므로 중간값의 정리에 의하여 $g \left( c \right) = 0$인 실수 $c$가 열린 구간 $\left( e ^{2} , e ^{3} \right)$에 오직 하나 존재한다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$가 $x = a$에서 극값을 가질 때, $a$가 속하는 구간은 $\left( e ^{2} , e ^{3} \right)$이다.