미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극값 조건과 계수

문제

함수 f(x)=x3+ax2−9x+bf ( x ) = x ^{3} + a x ^{2} - 9 x + b는 x=1x = 1에서 극소이다. 함수 f(x)f ( x )의 극댓값이 28\mathrm{28}일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 상수이다.) [3점]

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해설

함수 f(x)=x3+ax2−9x+bf \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} - 9 x + b에서 f′(x)=3x2+2ax−9f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax - 9 함수 f(x)f \left( x \right)는 x=1x = 1에서 극솟값을 가지므로 f′(1)=3+2a−9=0f' \left( 1 \right) = 3 + 2 a - 9 = 0 ∴\therefore a=3a = 3 이때 f′(x)=3x2+6x−9=3(x−1)(x+3)f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 6 x - 9 = 3 \left( x - 1 \right) \left( x + 3 \right) 함수 f(x)f \left( x \right)는 x=−3x = - 3에서 극댓값을 가지므로 f(−3)=−27+27+27+b=27+bf \left( - 3 \right) = - 27 + 27 + 27 + b = 27 + b 27+b=2827 + b = 28에서 b=1b = 1 ∴\therefore a+b=3+1=4a + b = 3 + 1 = 4

태그

#극대와 극소

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