미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f ( x )$ $=$ $\displaystyle e ^{x} + \frac{1}{x}$ 이 $x = \alpha$ 에서 극값을 가질 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, $e$ 는 자연로그의 밑이다.) [4점]

		< 보 기 >

	ㄱ. $\displaystyle e ^{\alpha} = \frac{1}{\alpha ^{2}}$ ㄴ. 곡선 $y = f ( x )$ 의 변곡점이 존재한다. ㄷ. 함수 $f ( x )$ 는 $x = \alpha$ 에서 최솟값을 갖는다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 함수의 그래프의 성질을 추측할 수 있는지 묻는 문제이다. $\displaystyle f' ( x ) = e ^{x} - \frac{1}{x ^{2}}$ 이고 $\displaystyle f'' ( x ) = e ^{x} + \frac{2}{x ^{3}}$ 이다. ㄱ. $f' ( \alpha ) =$ $\displaystyle e ^{\alpha} - \frac{1}{\alpha ^{2}} = 0$ 에서 $\displaystyle e ^{\alpha} = \frac{1}{\alpha ^{2}}$ (참) ㄴ. 모든 양수 $x$ 에 대하여 $f'' ( x ) > 0$ 이므로 곡선 $y = f ( x )$ 의 변곡점은 존재하지 않는다. (거짓) ㄷ. $f' ( \alpha ) = 0$ 이고 모든 양수 $x$ 에 대하여 $f'' ( x ) > 0$ 이므로 함수 $f ( x )$ 는 $x = \alpha$ 에서 극소이자 최소이다. (참)

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