극값 없는 적분함수

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제 해결하기 $g' \left( x \right)$$\displaystyle = 2 x \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt + x ^{2} f \left( x \right) - x ^{2} f \left( x \right)$$\displaystyle = 2 x \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle h \left( x \right) = \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt$라 하면 $h \left( 0 \right) = 0$ 조건 (나)에 의하여 방정식 $h \left( x \right) = 0$의 실근은 $0$과 $3$이므로 (ⅰ) $h \left( x \right) = ax ^{2} \left( x - 3 \right)$$\displaystyle ( \begin{matrix} \end{matrix}$$a$는 상수$\displaystyle \begin{matrix} ) \end{matrix}$$\displaystyle \begin{matrix} \end{matrix}$라 하면 $g' \left( x \right) = 2 ax ^{3} \left( x - 3 \right)$이고 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$, $x = 3$에서 극값을 가지므로 모순 (ⅱ) $h \left( x \right) = ax \left( x - 3 \right) ^{2}$$\displaystyle ( \begin{matrix} \end{matrix}$$a$는 상수$\displaystyle \begin{matrix} ) \end{matrix}$$\displaystyle \begin{matrix} \end{matrix}$라 하면 $g' \left( x \right) = 2 ax ^{2} \left( x - 3 \right) ^{2}$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 극값을 갖지 않는다. $h' \left( x \right)$$= f \left( x \right)$$= a \left( 3 x ^{2} - 12 x + 9 \right)$$= 3 a \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $3$이므로 $a = 1$ $f \left( x \right) = 3 \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} \left| f \left( x \right) \right| dx$ $\displaystyle = 3 \int _{0} ^{3} {} \left| \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) \right| dx$ $\displaystyle = 3 \int _{0} ^{1} {} \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) dx - 3 \int _{1} ^{3} {} \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) dx$ $\displaystyle = 3 \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x \right] _{0} ^{1} - 3 \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x \right] _{1} ^{3}$ $\displaystyle = 3 \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) - 3 \left( 9 - 18 + 9 - \frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 8$