미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극대와 극솟값

문제

함수 $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + ax + b$ 는 $x = 1$ 에서 극대이다. 함수 $f \left( x \right)$ 의 극솟값이 $5$ 일 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 상수이다.) [3점]

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해설

함수 $f \left( x \right)$ 는 $x = 1$ 에서 극대이므로 $f' \left( 1 \right) = 0$ $a = 9$ $f' \left( x \right) = 3 \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f \left( x \right)$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$

함수 $f \left( x \right)$ 는 $x = 3$ 에서 극솟값 $5$ 를 가지므로 $f \left( 3 \right) = 27 - 54 + 27 + b = 5$ 에서 $b = 5$ 따라서 $a + b = 9 + 5 = 14$

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