미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극댓값과 극솟값의 합

문제

두 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 함수 $f \left( x \right)$ 를 $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + ax + b$ 라 하자. 함수 $f \left( x \right)$ 는 $x = 3$ 에서 극값을 갖고, 함수 $f \left( x \right)$ 의 극댓값과 극솟값의 합이 $8$ 이다. $a + b$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 x + a$ $f' \left( 3 \right) = 27 - 36 + a = 0$ 이므로 $a = 9$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 x + 9 = 3 \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$ 에서 $x = 1$ 또는 $x = 3$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f' \left( x \right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f \left( x \right)$	$\nearrow$	극대	$\searrow$	극소	$\nearrow$

함수 $f \left( x \right)$ 의 극댓값은 $f \left( 1 \right) = 4 + b$ 이고, 함수 $f \left( x \right)$ 의 극솟값은 $f \left( 3 \right) = b$ 이므로 $4 + 2 b = 8$ , $b = 2$ 따라서 $a + b = 11$

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