극댓값으로 함수 결정

양수 $a$에 대하여 함수 $f \left( x \right)$를 $f \left( x \right) = 2 x ^{3} - 3 ax ^{2} - 12 a ^{2} x$ 라 하면 $f' \left( x \right) = 6 x ^{2} - 6 ax - 12 a ^{2}$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $6 \left( x - 2 a \right) \left( x + a \right) = 0$ $x = - a$ 또는 $x = 2 a$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $f \left( x \right)$의 극댓값이 $\displaystyle \frac{7}{27}$이므로 $f \left( - a \right) = - 2 a ^{3} - 3 a ^{3} + 12 a ^{3} = 7 a ^{3}$ 에서 $\displaystyle 7 a ^{3} = \frac{7}{27}$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ $\displaystyle f \left( x \right) = 2 x ^{3} - x ^{2} - \frac{4}{3} x$에서 $f \left( 3 \right) = 2 \times 3 ^{3} - 3 ^{2} - 4 = 41$