극대점 함수의 미분

[출제의도] 여러 가지 함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가? $\displaystyle f' ( x ) = \frac{2 t \ln x}{x} - 2 x = \frac{2 t \ln x - 2 x ^{2}}{x}$ 이고 $f ( x )$는 $x = k$에서 극대이므로 $2 t \ln k - 2 k ^{2} = 0$ $t \ln k = k ^{2}$ 이때 실수 $k$의 값을 $g ( t )$라 했으므로 $t \ln g ( t ) = \left\{ g ( t ) \right\} ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 그런데 $g ( \alpha ) = e ^{2}$이므로 ㉠에 $t = \alpha$를 대입하면 $\alpha \ln g ( \alpha ) = \left\{ g ( \alpha ) \right\} ^{2}$ $2 \alpha = e ^{4} ,$ $\displaystyle \alpha = \frac{e ^{4}}{2}$ 또한, ㉠의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \ln g ( t ) + t \times \frac{g' ( t )}{g ( t )} = 2 g ( t ) \times g' ( t )$ 이 식에 $t = \alpha$를 대입하면 $\displaystyle \ln g \left( \alpha \right) + \alpha \times \frac{g' \left( \alpha \right)}{g \left( \alpha \right)} = 2 g \left( \alpha \right) \times g' \left( \alpha \right)$ $\displaystyle 2 + \frac{e ^{4}}{2} \times \frac{g' ( \alpha )}{g ( \alpha )} = 2 e ^{2} \times g' ( \alpha )$ $\displaystyle \frac{3}{2} e ^{2} \times g' ( \alpha ) = 2$ $\displaystyle g' ( \alpha ) = \frac{4}{3 e ^{2}}$ $\displaystyle \alpha \times \left\{ g' ( \alpha ) \right\} ^{2} = \frac{e ^{4}}{2} \times \frac{16}{9 e ^{4}} = \frac{8}{9}$ 따라서 $p = 9 ,$ $q = 8$이므로 $p + q = 17$