거리의 순간변화율

[출제의도] 미분법을 활용하여 시각에 대한 변화율을 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 선분 $\mathrm{BC}$의 길이를 $x ( km )$, 선분 $\mathrm{AC}$의 길이를 $y ( km )$라 하자. 제 $2$코사인법칙으로부터 $y ^{2} = x ^{2} + 3 ^{2} - 2 x \cdot 3 \cdot \sin 120 ^\circ = x ^{2} + 3 x + 9 \cdots$① 한편 점 $\mathrm{C}$를 통과하는 순간에 $\displaystyle \triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3 \times x \times \sin 120 ^\circ = \frac{15}{4} \sqrt{3}$ 에서 $x = 5$이므로 $y = 7$이다. ①의 양변을 $t$에 관해서 미분하면 $\displaystyle 2 y \frac{dy}{dt} = 2 x \frac{dx}{dt} + 3 \frac{dx}{dt} \cdots$ ② 이고 조건에서 $\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{28}{13} ( km / h ) , x = 5 , y = 7$을 식 ②에 대입하면 $\displaystyle \frac{dy}{dt} = 2 ( km / h )$ 가 된다.