거리의 제곱의 합의 최솟값

점 $\mathrm{P}$가 직선 $y = x + 1$ 위의 점이므로 $\mathrm{P} ( t , t + 1 )$이라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} ^{2} = ( t - 1 ) ^{2} + ( t + 1 - 4 ) ^{2} = ( t - 1 ) ^{2} + ( t - 3 ) ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} ^{2} = ( t - 5 ) ^{2} + ( t + 1 - 2 ) ^{2} = ( t - 5 ) ^{2} + ( t - 1 ) ^{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} ^{2} + \overline{\mathrm{BP}} ^{2} = 4 t ^{2} - 20 t + 36 = 4 \left( t - \frac{5}{2} \right) ^{2} + 11$ 따라서 $\displaystyle t = \frac{5}{2}$일 때 최솟값은 $11$이다. 다른 풀이: 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M} ( 3 , 3 )$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} ^{2} + \overline{\mathrm{BP}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{MP}} ^{2} + \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} ^{2}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{MP}}$의 최솟값은 점 $\mathrm{M}$과 직선 $x - y + 1 = 0$ 사이의 거리 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 최솟값은 $\displaystyle 2 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times 20 = 11$이다.