거리의 합의 최솟값이 AB가 되는 직선의 기울기

실마리: 삼각부등식 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{AB}}$의 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 있을 때만 성립한다. 직선 $y = mx$가 선분 $\mathrm{AB}$와 만나면 그 교점을 $\mathrm{P}$로 잡아 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{AB}}$가 되므로 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$이다. 직선 $y = mx$가 선분 $\mathrm{AB}$와 만나지 않으면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선에 대하여 같은 쪽에 있고, 점 $\mathrm{A}$의 대칭점 $\mathrm{A}'$에 대하여 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B}$이다. 이때 $\mathrm{A}' \ne \mathrm{A}$이고 두 점 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}$는 직선의 반대쪽에 있으므로 선분 $\mathrm{A}' B$와 직선의 교점을 $\mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{BQ}} > \overline{\mathrm{AB}}$이다. 즉 최솟값이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$와 같아지는 것은 직선 $y = mx$가 선분 $\mathrm{AB}$와 만날 때뿐이다. 직선 $y = mx$는 원점을 지나므로 선분 $\mathrm{AB}$와 만나려면 기울기 $m$이 직선 $\mathrm{OB}$의 기울기 $\displaystyle \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ 이상, 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기 $\displaystyle \frac{6}{2} = 3$ 이하이어야 한다. $\displaystyle \frac{1}{4} \leq m \leq 3$ 따라서 정수 $m$은 $1 , 2 , 3$이므로 그 개수는 $3$이다.