거리의 합의 최솟값 구하기

실마리: $\displaystyle \frac{1}{3} \overline{\mathrm{PA}}$ 를 어떤 고정된 점까지의 거리로 바꿀 수 있는지 살펴본다. 점 $\mathrm{Q} ( 1 , 0 )$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} : \overline{\mathrm{PA}} = \mathit{1} : 3$을 만족시키는 점 $\mathrm{P} ( x , y )$의 자취를 구하면 $\displaystyle 9 \overline{\mathrm{PQ}} ^{2} = \overline{\mathrm{PA}} ^{2}$ $9 \left\{ ( x - 1 ) ^{2} + y ^{2} \right\} = ( x - 9 ) ^{2} + y ^{2}$ $9 x ^{2} - 18 x + 9 + 9 y ^{2} = x ^{2} - 18 x + 81 + y ^{2}$ $8 x ^{2} + 8 y ^{2} = 72$ $x ^{2} + y ^{2} = 9$ 즉, 주어진 원 위의 모든 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \frac{1}{3} \overline{\mathrm{PA}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} + \frac{1}{3} \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PB}} + \overline{\mathrm{PQ}} \geq \overline{\mathrm{QB}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \sqrt{( 1 - 1 ) ^{2} + ( 4 - 0 ) ^{2}} = 4$ 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{QB}$ 위에 있을 때 성립하고, 선분 $\mathrm{QB}$는 직선 $x = 1$ 위의 $0 \leq y \leq 4$ 부분이므로 원과 점 $\displaystyle ( 1 , 2 \sqrt{2} )$에서 만난다. 따라서 구하는 최솟값은 $4$이다. (검산: $\displaystyle \mathrm{P} ( 1 , 2 \sqrt{2} )$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = \mathit{4} - 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{8 ^{2} + 8} = 6 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} + \frac{1}{3} \overline{\mathrm{PA}} = 4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 4$이다.)