거리의 합이 최소가 되는 직선 위의 점

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $y = 2$에 대하여 같은 쪽(위쪽)에 있다. 점 $\mathrm{A} ( 1 , 5 )$의 직선 $y = 2$에 대한 대칭점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 $\mathrm{A}' ( 1 , - 1 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$이므로 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{A}' B$와 직선 $y = 2$의 교점일 때 최소가 된다. 직선 $\mathrm{A}' B$의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - ( - 1 )}{9 - 1} = \frac{1}{2}$이므로 그 방정식은 $\displaystyle y + 1 = \frac{1}{2} ( x - 1 )$ $y = 2$를 대입하면 $\displaystyle 3 = \frac{1}{2} ( x - 1 )$에서 $x = 7$ 따라서 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $7$이다. ③