공통수학2직선의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

거리의 차의 최댓값

문제

좌표평면 위의 두 점 A(1,2)\mathrm{A} ( 1 , 2 ), B(4,6)\mathrm{B} ( 4 , 6 )과 xx축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있다. ∣AP‾−BP‾∣\displaystyle \left| \overline{\mathrm{AP}} - \overline{\mathrm{BP}} \right|의 최댓값을 구하시오. [3점]

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해설

삼각부등식에 의하여 ∣AP‾−BP‾∣≤AB‾\displaystyle \left| \overline{\mathrm{AP}} - \overline{\mathrm{BP}} \right| \leq \overline{\mathrm{AB}}이고, 등호는 점 P\mathrm{P}가 직선 AB\mathrm{AB} 위에 있을 때 성립한다. 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기는 6−24−1=43\displaystyle \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}이므로 직선 AB\mathrm{AB}는 xx축과 만나고, 그 교점을 P\mathrm{P}로 잡을 수 있다. AB‾=(4−1)2+(6−2)2=9+16=5\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( 4 - 1 ) ^{2} + ( 6 - 2 ) ^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5 따라서 최댓값은 55이다.

태그

#직선 위의 점#거리의 차#최대

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