거리의 차 최대와 쌍곡선

[출제의도] 쌍곡선의 성질과 쌍곡선의 접선을 이용하여 상수의 값을 구할 수 있는가? 두 양수 $a , b$에 대하여 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 초점으로 하는 쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$이라 하자. 이 쌍곡선 점 $\left( 3 , 3 \right)$을 지나고 점 $\left( 3 , 3 \right)$에서 직선 $y$$= 2 x - 3$에 접할 때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} - {\overline{\mathrm{PA}}}$는 최대이다. 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위의 점 $( 3 , 3 )$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{3 x}{a ^{2}} - \frac{3 y}{b ^{2}} = 1$ 즉, $\displaystyle y = \frac{b ^{2}}{a ^{2}} x - \frac{b ^{2}}{3}$ 이 직선이 $y$$= 2 x - 3$이므로 $\displaystyle \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$$= 2$, $\displaystyle - \frac{b ^{2}}{3}$$= \mathit{-} 3$ $\displaystyle a ^{2} = \frac{9}{2}$, $b ^{2} = 9$ 두 점 $\mathrm{A} , B$가 쌍곡선의 초점이므로 $c ^{2}$$= a ^{2} + b ^{2}$$\displaystyle = \frac{9}{2} + 9$$\displaystyle = \frac{27}{2}$ 따라서 $\displaystyle c = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$