공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

거리 조건 점의 자취

문제

좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A} ( 0 , 2 )$ , $\mathrm{B} ( - 1 , 0 ) ,$ $C ( 1 , 0 )$ 으로 이루어지는 $\mathrm{\triangle} AB C$ 의 내부 또는 변 위의 점 $\mathrm{P}$ 에서 변 $\mathrm{AB} , BC , CA$ 까지의 거리를 각각 $a , b , c$ 라 하자. $4 b = 5 ( a + c ) ^{2}$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 자취는? [2점]

①한 점② $x$ 축에 평행인 선분③ $y$ 축에 평행인 선분④포물선의 일부인 곡선⑤원의 일부인 곡선

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②

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해설

직선 $AB$ 의 방정식은 $2 x - y + 2 = 0$ 직선 $AC$ 의 방정식은 $2 x + y - 2 = 0$ $P ( X , Y )$ 라 하면 주어진 조건에서 $Y \leq 2 x + 2 , Y \leq - 2 X + 2 , Y \geq 0 \cdots \cdots \mathrm{i} )$ $\displaystyle a = \frac{| 2 X - Y + 2 |}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle = \frac{2 X - Y + 2}{\sqrt{5}}$ $b = Y$ $\displaystyle c = \frac{| 2 X + Y - 2 |}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle = \frac{- 2 X - Y + 2}{\sqrt{5}}$ 이것을 $4 b = 5 ( a + c ) ^{2}$ 에 대입하여 정리하면 $\displaystyle 4 Y = 5 \left( \frac{- 2 Y + 4}{\sqrt{5}} \right) ^{2}$ $4 Y = 4 Y ^{2} - 16 Y + 16$ $Y ^{2} - 5 Y + 4 = 0$ $\rightarrow ( Y - 1 ) ( Y + 4 ) = 0$ $\therefore Y = 1 , 4$ $Y = 4$ 는 영역ⅰ)에 속하지 않으므로 $Y = 1$ 따라서, $x$ 축에 평행인 선분

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