공통수학2평면좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

거리 제곱합 최솟값

문제

좌표평면 위의 세 점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ), A(3,0)\mathrm{A} ( 3 , 0 ), B(0,6)\mathrm{B} ( 0 , 6 )을 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 내부에 점 P\mathrm{P}가 있다. 이때, OP‾2+AP‾2+BP‾2\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} ^{2} + \mathrm{\overline{AP}} ^{2} + \mathrm{\overline{BP}} ^{2}의 최솟값은? [3점] ①1818②2121③2424④2727⑤3030

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⑤

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해설

[출제의도] 두 점 사이의 거리 구하기 점 P\mathrm{P}의 좌표를 (x,y)( x , y )라 하면 OP‾2+AP‾2+BP‾2\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} ^{2} + {\mathrm{\overline{AP}}} ^{2} + \mathrm{\overline{BP}} ^{2}=(x2+y2)+{(x−3)2+y2}+{x2+(y−6)2}= \left( x ^{2} + y ^{2} \right) + \left\{ ( x - 3 ) ^{2} + y ^{2} \right\} + \left\{ x ^{2} + ( y - 6 ) ^{2} \right\} =3x2−6x+3y2−12y+45= 3 x ^{2} - 6 x + 3 y ^{2} - 12 y + 45 =3(x−1)2+3(y−2)2+30= 3 ( x - 1 ) ^{2} + 3 ( y - 2 ) ^{2} + 30 따라서 x=1x = 1, y=2y = 2일 때, 최솟값은 3030

태그

#두 점 사이의 거리#완전제곱식

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