공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

거리 제곱합 최소

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 대하여 변 BC\mathrm{BC}의 중점을 P\mathrm{P}라 하고, 선분 AP\mathrm{AP} 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이를 xx라 하자. AQ‾2+BQ‾2+CQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} ^{2} + \mathrm{\overline{BQ}} ^{2} + {\overline{CQ}} ^{2}은 x=ax = a에서 최솟값 mm을 가진다. ma\displaystyle \frac{m}{a}의 값은? (단, 0<x<3\displaystyle 0 < x < \sqrt{3}이고, aa는 실수이다.) [4점]

①33\displaystyle 3 \sqrt{3}②723\displaystyle \frac{7}{2} \sqrt{3}③43\displaystyle 4 \sqrt{3}④923\displaystyle \frac{9}{2} \sqrt{3}⑤53\displaystyle 5 \sqrt{3}

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③

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해설

[출제의도] 이차함수를 이용하여 도형 문제 해결하기 PQ‾=x\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = x이므로 BQ‾2=CQ‾2=12+x2\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{CQ}}} ^{2} = \mathit{1 ^{2} + x ^{2}}이다. AQ‾2+BQ‾2+CQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} ^{2} + \mathrm{\overline{BQ}} ^{2} + {\overline{CQ}} ^{2}=(3−x)2+2(1+x2)\displaystyle = \left( \sqrt{3} - x \right) ^{2} + 2 \left( 1 + x ^{2} \right) =3x2−23x+5\displaystyle = 3 x ^{2} - 2 \sqrt{3} x + 5 =3(x2−233x)+5\displaystyle = 3 \left( x ^{2} - \frac{2}{3} \sqrt{3} x \right) + 5 =3(x2−233x+13−13)+5\displaystyle = 3 \left( x ^{2} - \frac{2}{3} \sqrt{3} x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \right) + 5 =3(x−33)2+4\displaystyle = 3 \left( x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) ^{2} + 4 AQ‾2+BQ‾2+CQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} ^{2} + \mathrm{\overline{BQ}} ^{2} + {\overline{CQ}} ^{2}은 x=33\displaystyle x = \frac{\sqrt{3}}{3}에서 최솟값 44를 가진다. 따라서 a=33\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{3}, m=4m = 4이므로 ma=43\displaystyle \frac{m}{a} = 4 \sqrt{3}이다.

태그

#이차함수 최솟값#완전제곱식

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