거리 제곱 최댓값 함수

[출제의도] 함수의 미분가능성 추론하기

$y = f \left( x \right)$ $y = \mathit{-} x + 4$

그림과 같이 선분 $\mathrm{BC}$의 수직이등분선 $y = 4$는 함수 $y = f \left( x \right)$ $\left( x < 0 \right)$의 그래프와 점 $\left( - 2 , 4 \right)$에서 만나고, 선분 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선 $y = \mathit{-} x + 4$는 함수 $y = f \left( x \right)$ $\left( x \geq 0 \right)$의 그래프와 점 $\left( 2 , 2 \right)$에서 만난다. 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , f \left( x \right) \right)$에 대하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} ^{2}$의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm{Q}$는 $x < \mathit{-} 2$일 때 점 $\mathrm{B} \left( 1 , 3 \right)$, $- 2 \leq x < 2$일 때 점 $\mathrm{C} \left( 1 , 5 \right)$, $x \geq 2$일 때 점 $\mathrm{A} \left( - 1 , 3 \right)$이다. (ⅰ) $x < \mathit{-} 2$일 때 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , x ^{2} \right)$에 대하여 $\displaystyle g \left( x \right) = {\overline{\mathrm{PB}}} ^{2}$이므로 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} + \left( x ^{2} - 3 \right) ^{2} = x ^{4} - 5 x ^{2} - 2 x + 10$ (ⅱ) $- 2 \leq x < 0$일 때 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , x ^{2} \right)$에 대하여 $\displaystyle g \left( x \right) = {\overline{\mathrm{PC}}} ^{2}$이므로 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} + \left( x ^{2} - 5 \right) ^{2} = x ^{4} - 9 x ^{2} - 2 x + 26$ (ⅲ) $0 \leq x < 2$일 때 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , x \right)$에 대하여 $\displaystyle g \left( x \right) = {\overline{\mathrm{PC}}} ^{2}$이므로 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} + \left( x - 5 \right) ^{2} = 2 x ^{2} - 12 x + 26$ (ⅳ) $x \geq 2$일 때 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , x \right)$에 대하여 $\displaystyle g \left( x \right) = {\overline{\mathrm{PA}}} ^{2}$이므로 $g \left( x \right) = \left( x + 1 \right) ^{2} + \left( x - 3 \right) ^{2} = 2 x ^{2} - 4 x + 10$ (ⅰ) ~ (ⅳ)에 의하여 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{4} - 5 x ^{2} - 2 x + 10 _{{} _{}} & \left( x < \mathit{-} 2 \right) _{{} _{}} \\ x ^{4} - 9 x ^{2} - 2 x + 26 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( - 2 \leq x < 0 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ 2 x ^{2} - 12 x + 26 _{{} _{}} ^{{} ^{}} & \left( 0 \leq x < 2 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{}} \\ 2 x ^{2} - 4 x + 10 ^{{} ^{}} & \left( x \geq 2 \right) ^{{} ^{}} \end{cases}}$ ㄱ. $g \left( 0 \right) = 26$ (참) ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {g \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\left( 2 x ^{2} - 12 x + 26 \right) = 10}$, $\displaystyle g \left( 2 \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\left( 2 x ^{2} - 4 x + 10 \right)} = 10$ 이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 2$에서 연속이다. $0 \leq x \leq 2$에서 함수 $y = 2 \left( x - 3 \right) ^{2} + 8$은 $x = 2$일 때 최솟값 $10$을 갖고, $2 \leq x \leq 3$에서 함수 $y = 2 \left( x - 1 \right) ^{2} + 8$은 $x = 2$일 때 최솟값 $10$을 가지므로 닫힌구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 함수 $g \left( x \right)$의 최솟값은 $10$이다. (참) ㄷ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 2 -} {\frac{g \left( x \right) - g \left( - 2 \right)}{x - \left( - 2 \right)}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 -} {\frac{x ^{4} - 5 x ^{2} - 2 x + 10 - 10}{x + 2}} = \mathit{-} 14$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 2 +} {\frac{g \left( x \right) - g \left( - 2 \right)}{x - \left( - 2 \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 2 +} {\frac{x ^{4} - 9 x ^{2} - 2 x + 26 - 10}{x + 2}} = 2$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 2$에서 미분가능하지 않다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{x ^{4} - 9 x ^{2} - 2 x + 26 - 26}{x}} = \mathit{-} 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{2 x ^{2} - 12 x + 26 - 26}{x}} = \mathit{-} 12$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 0$에서 미분가능하지 않다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {\frac{2 x ^{2} - 12 x + 26 - 10}{x - 2}} = \mathit{-} 4$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {\frac{2 x ^{2} - 4 x + 10 - 10}{x - 2}} = 4$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 2$에서 미분가능하지 않다. 따라서 미분가능하지 않은 모든 $a$의 값의 합은 $- 2 + 0 + 2 = 0$이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ