거짓 명제 조건

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-집합과 명제 명제 ‘어떤 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle x ^{2} + ( k - 3 ) x + 2 k - \frac{15}{4} < 0$’이 거짓이려면 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle x ^{2} + ( k - 3 ) x + 2 k - \frac{15}{4} \geq 0$ 이어야 한다. 따라서 이차방정식 $\displaystyle x ^{2} + ( k - 3 ) x + 2 k - \frac{15}{4} = 0$ 의 판별식을 $D$라 하면 $D \leq 0$이어야 하므로 $\displaystyle D = ( k - 3 ) ^{2} - 4 ( 2 k - \frac{15}{4} ) = k ^{2} - 14 k + 24 \leq 0$ $( k - 2 ) ( k - 12 ) \leq 0$ 따라서 $2 \leq k \leq 12$ 이므로 구하는 정수 $k$의 개수는 2, 3, 4, $\cdots$, 12의 11이다.