거듭제곱근이 자연수

$\displaystyle \left( \frac{4 ^{a} \times 6}{3 ^{b}} \right) ^{\frac{1}{3}}$$\displaystyle = \left( 2 ^{2 a + 1} \times 3 ^{1 - b} \right) ^{\frac{1}{3}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{2 a + 1}{3}} \times 3 ^{\frac{1 - b}{3}}$ 의 값이 $10$ 이상 $20$ 이하의 자연수이므로 $\displaystyle 2 ^{\frac{2 a + 1}{3}} \times 3 ^{\frac{1 - b}{3}}$의 값은 $2 ^{2} \times 3$ 또는 $2 ^{4}$ 또는 $2 \times 3 ^{2}$이다. (ⅰ) $\displaystyle 2 ^{\frac{2 a + 1}{3}} \times 3 ^{\frac{1 - b}{3}} = 2 ^{2} \times 3$인 경우 $\displaystyle \frac{2 a + 1}{3} = 2$, $\displaystyle \frac{1 - b}{3} = 1$이므로 $\displaystyle a = \frac{5}{2}$, $b = - 2$이다. $a$는 정수가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle 2 ^{\frac{2 a + 1}{3}} \times 3 ^{\frac{1 - b}{3}} = 2 ^{4}$인 경우 $\displaystyle \frac{2 a + 1}{3} = 4$, $\displaystyle \frac{1 - b}{3} = 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{11}{2}$, $b = 1$이다. $a$는 정수가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $\displaystyle 2 ^{\frac{2 a + 1}{3}} \times 3 ^{\frac{1 - b}{3}} = 2 \times 3 ^{2}$인 경우 $\displaystyle \frac{2 a + 1}{3} = 1$, $\displaystyle \frac{1 - b}{3} = 2$이므로 $a = 1$, $b = - 5$이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $a + b = 1 + \left( - 5 \right) = - 4$이다.