거듭제곱근과 로그 등식

[출제의도] 거듭제곱근의 뜻과 로그의 연산법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $x ^{4} = k ( k > 0 )$에서 $k$의 네 제곱근 중 실수인 것은 $\displaystyle - \sqrt[4]{k}$, $\displaystyle \sqrt[4]{k}$ 이므로 $\displaystyle a = \sqrt[4]{k} , b = - \sqrt[4]{k}$이다. $x ^{3} = k ( k > 0 )$에서 $k$의 세 제곱근 중 실수인 것은 $\displaystyle \sqrt[3]{k}$ 이므로 $\displaystyle c = \sqrt[3]{k}$이다. $x ^{3} = - k ( k > 0 )$에서 $- k$의 세 제곱근 중 실수인 것은 $\displaystyle \sqrt[3]{- k} = - \sqrt[3]{k}$이므로 $\displaystyle d = - \sqrt[3]{k}$이다. $\displaystyle \log _{2} \frac{c}{a} = \log _{2} \frac{b}{d} + 1$에서 $\displaystyle \log _{2} \frac{c}{a} - \log _{2} \frac{b}{d} = 1$ $\displaystyle \log _{2} \frac{cd}{ab} = 1$, $\displaystyle \frac{cd}{ab} = 2$ $\displaystyle \frac{cd}{ab} = \frac{\sqrt[3]{k} ( - \sqrt[3]{k} )}{\sqrt[4]{k} ( - \sqrt[4]{k} )} = \frac{\sqrt[3]{k ^{2}}}{\sqrt[4]{k ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{k ^{\frac{2}{3}}}{k ^{\frac{1}{2}}} = k ^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = k ^{\frac{1}{6}}$ 따라서 $\displaystyle k ^{\frac{1}{6}} = 2$이므로 $k = 2 ^{6} = 64$이다.