거듭제곱근 자연수 조건

[출제의도] 거듭제곱근을 이해하여 자연수의 최솟값을 구한다. $\displaystyle \sqrt{2 m}$의 값이 자연수이려면 $m = 2 p ^{2}$($p$는 자연수) …… ㉠ 의 꼴이어야 한다. $\displaystyle \sqrt[3]{3 m}$의 값이 자연수이려면 $m = 3 ^{2} q ^{3}$($q$는 자연수) …… ㉡ 의 꼴이어야 한다. $\displaystyle \sqrt{2 m}$, $\displaystyle \sqrt[3]{3 m}$이 모두 자연수가 되려면 ㉠, ㉡에서 $m = 2 ^{3} \times 3 ^{2} \times r ^{6}$($r$는 자연수)의 꼴이어야 한다. 따라서 자연수 $m$의 최솟값은 $r = 1$일 때 $2 ^{3} \times 3 ^{2} \times 1 ^{6}$$= 72$