거듭제곱근 자연수 조건

자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sqrt[n + 1]{8}$이 어떤 자연수의 네제곱근이 되려면 $\displaystyle ( \sqrt[n + 1]{8} ) ^{4} = \left\{ \left( 2 ^{3} \right) ^{\frac{1}{n + 1}} \right\} ^{4} = 2 ^{\frac{12}{n + 1}}$이 자연수이어야 한다. 따라서 $n + 1$은 $\mathrm{12}$의 약수이어야 하므로 $n + 1$이 될 수 있는 값은 $2$, $3$, $4$, $6$, $12$이고 이를 만족시키는 모든 $n$의 값의 합은 $1 + 2 + 3 + 5 + 11 = 22$이다.