대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

거듭제곱근 자연수 집합

문제

집합 A={x∣x=2n211(34+32+1)36−1n과x는양의정수}\displaystyle A = \left\{ x | x = ^{2 n} \sqrt{{\frac{2 ^{11} \left( 3 ^{4} + 3 ^{2} + 1 \right)}{3 ^{6} - 1}}} \right. n \text{과} x \text{는} \text{양의} \text{정수} \} 의 모든 원소들의 합을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 지수의 성질을 이용하여 만족하는 자연수 구하기 x={211(34+32+1)(32−1)(34+32+1)}12n\displaystyle x = \left\{ \frac{2 ^{11} ( 3 ^{4} + 3 ^{2} + 1 )}{( 3 ^{2} - 1 ) ( 3 ^{4} + 3 ^{2} + 1 )} \right\} ^{\frac{1}{2 n}}=(21132−1)12n=24n\displaystyle = \left( \frac{2 ^{11}}{3 ^{2} - 1} \right) ^{\frac{1}{2 n}} = 2 ^{\frac{4}{n}} 양의 정수 nn에 대하여 xx 가 자연수가 되기 위한 nn은 1,2,41 , 2 , 4이다. 따라서, A={2,4,16}A = \left\{ 2 , 4 , 16 \right\} 그러므로 집합 AA 의 원소의 합은 2222

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#거듭제곱근#인수분해

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