거듭제곱근 자연수 개수

$\displaystyle n ^{\frac{4}{k}}$의 값이 자연수인 경우의 예로 $n = 6$이라고 하면 $\displaystyle 6 ^{\frac{4}{k}}$에서 $k = 1$, 2, 4 인 3가지이므로 $f ( 6 )$이다. 이것으로 부터 생각하기를 $n$이 거듭제곱수인 경우를 관찰해 보자. $n$이 소수 $m$의 완전제곱수이면 $\displaystyle ( m ^{2} ) ^{\frac{4}{k}} = m ^{\frac{8}{k}}$ 에서 $k$는 8의 양의 약수인 1, 2, 4, 8 일 때이고 $f ( n ) = 4$ 이다. 이것을 차례로 적용해 보면 $n$이 세제곱수이면 $4 \times 3 = 12 = 2 ^{2} \times 3$의 양의 약수의 개수 6 $n$이 네제곱수이면 $4 \times 4 = 16 = 2 ^{4}$의 양의 약수의 개수 5 $n$이 5제곱수이면 $4 \times 5 = 20 = 2 ^{2} \times 5$의 양의 약수의 개수 6 $n$이 6제곱수이면 $4 \times 6 = 24 = 2 ^{3} \times 3$의 양의 약수의 개수 8 따라서 $f ( n ) = 8$을 만족시키는 $n$의 최솟값은 $2 ^{6} = 64$이다.