대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

거듭제곱근 관계와 로그

문제

1이 아닌 세 양수 a,b,ca , b , c에 대하여, a2a ^{2}은 bb의 세제곱근이고 c3c ^{3}은 bb의 네제곱근이다. log⁡ab+log⁡bc=qp\displaystyle \log _{a} b + \log _{b} c = \frac{q}{p}라 할 때, p+qp + q의 값은? (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [3점] ①8181②8282③8383④8484⑤8585

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⑤

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해설

[출제의도] 거듭제곱근의 뜻과 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. a2a ^{2}은 bb의 세제곱근이므로 (a2)3=b( a ^{2} ) ^{3} = b ∴ a6=ba ^{6} = b c3c ^{3}은 bb의 네제곱근이므로 (c3)4=b( c ^{3} ) ^{4} = b ∴ c12=bc ^{12} = b log⁡ab+log⁡bc=log⁡aa6+log⁡c12c\log _{a} b + \log _{b} c = \log _{a} a ^{6} + \log _{c ^{12}} c=6+112=7312\displaystyle = 6 + \frac{1}{12} = \frac{73}{12} ∴ p=12p = 12, q=73q = 73 ∴ p+q=85p + q = 85

태그

#거듭제곱근#로그의 성질

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