거듭제곱근 곱이 자연수

[출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 순서쌍의 개수 문제 해결하기 (ⅰ) $p$, $q$가 모두 홀수일 때, $\displaystyle f \left( p \right) \times f \left( q \right) = \sqrt[4]{9 \times 2 ^{p + 1}} \times \sqrt[4]{9 \times 2 ^{q + 1}}$$\displaystyle = 3 \times \sqrt[4]{2 ^{p+q+2}}$ 에서 $p + q + 2$가 $4$의 배수일 때, $f \left( p \right) \times f \left( q \right)$는 자연수이다. 두 자연수 $p$, $q$가 각각 $10$ 이하이므로 조건에 맞는 순서쌍 $\left( p , q \right)$는 ① $p + q + 2 = 4$일 때, $\left( 1 , 1 \right)$ ② $p + q + 2 = 8$일 때, $\left( 1 , 5 {)} \right.$, $\left( 3 , 3 \right)$, $\left( 5 , 1 {)} \right.$ ③ $p + q + 2 = 12$일 때, $\left( 1 , 9 {)} \right.$, $\left( 3 , 7 {)} \right.$, $\left( 5 , 5 {)} \right.$, $\left( 7 , 3 {)} \right.$, $\left( 9 , 1 {)} \right.$ ④ $p + q + 2 = 16$일 때, $\left( 5 , 9 {)} \right.$, $\left( 7 , 7 {)} \right.$, $\left( 9 , 5 {)} \right.$ ⑤ $p + q + 2 = 20$일 때, ${\left( 9 , 9 {)} \right.}$이므로 모든 순서쌍 $\left( p , q \right)$의 개수는 $13$이다. (ⅱ) $p$는 홀수, $q$는 짝수일 때, $\displaystyle f \left( p \right) \times f \left( q \right) = \sqrt[4]{9 \times 2 ^{p + 1}} \times \sqrt[4]{4 \times 3 ^{q}} = \sqrt[4]{2 ^{p + 3} \times 3 ^{q + 2}}$ 에서 $p + 3$과 $q + 2$가 각각 $4$의 배수일 때, $f \left( p \right) \times f \left( q \right)$는 자연수이다. 두 자연수 $p$, $q$가 각각 $10$ 이하이므로 $p + 3 = 4$, $8$, $12$, $q + 2 = 4$, $8$, $12$이고, 조건에 맞는 순서쌍 $\left( p , q \right)$는 $\left( 1 , 2 {)} \right.$, $\left( 1 , 6 {)} \right.$, $\left( 1 , 10 {)} \right.$, $\left( 5 , 2 {)} \right.$, $\left( 5 , 6 {)} \right.$, $\left( 5 , 10 {)} \right.$, $\left( 9 , 2 {)} \right.$, $\left( 9 , 6 {)} \right.$, $\left( 9 , 10 {)} \right.$이므로 모든 순서쌍 $\left( p , q \right)$의 개수는 $9$이다. (ⅲ) $p$는 짝수, $q$는 홀수일 때, $\displaystyle f \left( p \right) \times f \left( q \right) = \sqrt[4]{4 \times 3 ^{p}} \times \sqrt[4]{9 \times 2 ^{q + 1}} = \sqrt[4]{2 ^{q + 3} \times 3 ^{p + 2}}$ 에서 $q + 3$과 $p + 2$가 각각 $4$의 배수일 때, $f \left( p \right) \times f \left( q \right)$는 자연수이다. 두 자연수 $p$, $q$가 각각 $10$ 이하이므로 $p + 2 = 4$, $8$, $12$, $q + 3 = 4$, $8$, $12$이고, 조건에 맞는 순서쌍 $\left( p , q \right)$는 $\left( 2 , 1 {)} \right.$, $\left( 2 , 5 {)} \right.$, $\left( 2 , 9 \right)$, $\left( 6 , 1 {)} \right.$, $\left( 6 , 5 {)} \right.$, $\left( 6 , 9 {)} \right.$, $\left( 10 , 1 {)} \right.$, $\left( 10 , 5 {)} \right.$, $\left( 10 , 9 {)} \right.$이므로 모든 순서쌍 $\left( p , q \right)$의 개수는 $9$이다. (ⅳ) $p$, $q$가 모두 짝수일 때, $\displaystyle f \left( p \right) \times f \left( q \right) = \sqrt[4]{4 \times 3 ^{p}} \times \sqrt[4]{4 \times 3 ^{q}}$$\displaystyle = 2 \times \sqrt[4]{3 ^{p + q}}$ 에서 $p + q$가 $4$의 배수일 때, $f \left( p \right) \times f \left( q \right)$는 자연수이다. 두 자연수 $p$, $q$가 각각 $10$ 이하이므로 조건에 맞는 순서쌍 $\left( p , q \right)$는 ① $p + q = 4$일 때, $\left( 2 , 2 \right)$ ② $p + q = 8$일 때, $\left( 2 , 6 \right)$, $\left( 4 , 4 \right)$, $\left( 6 , 2 \right)$ ③ $p + q = 12$일 때, $\left( 2 , 10 \right)$, $\left( 4 , 8 \right)$, $\left( 6 , 6 {)} \right.$, $\left( 8 , 4 \right)$, $\left( 10 , 2 {)} \right.$ ④ $p + q = 16$일 때, $\left( 6 , 10 {)} \right.$, $\left( 8 , 8 {)} \right.$, $\left( 10 , 6 {)} \right.$ ⑤ $p + q = 20$일 때, $\left( 10 , 10 {)} \right.$이므로 모든 순서쌍 $\left( p , q \right)$의 개수는 $13$이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의해 구하는 모든 순서쌍 $\left( p , q \right)$의 개수는 $44$이다.