거듭제곱근 개수

[출제의도] 거듭제곱근을 활용하여 문제 해결하기 $n \geq 2$에서 $n ^{2} - 17 n + 19 k$의 값을 $g \left( n \right)$이라 하자. (ⅰ) $n$이 홀수일 때, $n = 2 m + 1$($m$은 자연수) $g \left( n \right)$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수는 $1$이므로 $f \left( 2 m + 1 \right)$$= 1$ (ⅱ) $n$이 짝수일 때, $n = 2 m$($m$은 자연수) $g \left( 2 m \right) > 0$이면 $f \left( 2 m \right) = 2$ $g \left( 2 m \right) < 0$이면 $f \left( 2 m \right) = 0$ $g \left( 2 m \right) \mathit{=} 0$이라 하면 $19 k = 2 m \left( 17 - 2 m \right)$ 이를 만족시키는 두 자연수 $m$과 $k$는 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ) 에 의하여 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{19} f \left( n \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{m = 1} ^{9} f \left( 2 m \right) + \sum\limits _{m = 1} ^{9} f \left( 2 m + 1 \right)$ $\displaystyle \sum\limits _{m = 1} ^{9} f \left( 2 m \right)$$= 19 - 1 \times 9$$= 10$ $\displaystyle \sum\limits _{m = 1} ^{9} f \left( 2 m \right) = 10$을 만족시키기 위해서는 $g \left( 2 m \right) > 0$인 $m$의 개수가 $5$이어야 한다. $\cdots$㉠ $2 \leq n \leq 7$이면 $g \left( n \right) > g \left( n + 1 \right)$ $n = 8$이면 $g \left( n \right) = g \left( n + 1 \right)$, 즉 $g \left( 8 \right) = g \left( 9 \right)$ $n \geq 9$이면 $g \left( n \right) < g \left( n + 1 \right)$ 자연수 $n$에 대하여 $g \left( n \right) \mathit{=} g \left( 17 - n \right)$이므로 $g \left( 18 \right) > g \left( 16 \right) > g \left( 15 \right) = g \left( 2 \right) > g \left( 14 \right) > g \left( 13 \right) = g \left( 4 \right)$ $> g \left( 12 \right) > g \left( 11 \right) = g \left( 6 \right) > g \left( 10 \right) > g \left( 9 \right) = g \left( 8 \right)$ ㉠을 만족시키는 경우는 $g \left( 18 \right) > g \left( 16 \right) > g \left( 2 \right) > g \left( 14 \right) > g \left( 4 \right) > 0 > g \left( 12 \right)$ $g \left( 4 \right) \mathit{=} 4 ^{2} - 17 \times 4 + 19 k > 0$, $19 k > 52$ $g \left( 12 \right) = g \left( 5 \right) \mathit{=} 5 ^{2} - 17 \times 5 + 19 k < 0$, $19 k < 60$ $\displaystyle \frac{52}{19} < k < \frac{60}{19}$ 따라서 자연수 $k$는 $3$