거듭제곱근 등식의 순서쌍

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 순서쌍의 개수 추론하기 (ⅰ) $a = c$일 때, ① $k < 24$일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍은 존재하지 않는다. ② $24 \leq k < 500$일 때, $\displaystyle a ^{\frac{1}{b}} \times c ^{\frac{1}{d}} = 24 ^{\frac{1}{b}} \times 24 ^{\frac{1}{d}} = 24 ^{\frac{1}{b} + \frac{1}{d}} = 24 ^{\frac{1}{5}}$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{b} + \frac{1}{d} = \frac{b + d}{bd} = \frac{1}{5}$이므로 $bd = 5 \left( b + d \right)$이고 $bd - 5 b - 5 d = 0$이 되어 $\left( b - 5 \right) \left( d - 5 \right) = 25$이다.

$\left( b , d \right) = \left( 6 , 30 \right)$, $\left( 10 , 10 \right)$, $\left( 30 , 6 \right)$이다. $24 \leq k < 30$이면 조건을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$는 $\left( 24 , 10 , 24 , 10 \right)$이므로 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $1$이다. $30 \leq k < 500$이면 조건을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$는 $\left( 24 , 6 , 24 , 30 \right)$, $\left( 24 , 10 , 24 , 10 \right)$, $\left( 24 , 30 , 24 , 6 \right)$이므로 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $3$이다. (ⅱ) $a \ne c$일 때, $\displaystyle 24 ^{\frac{1}{5}}$$\displaystyle = \left( 2 \times 12 \right) ^{\frac{1}{5}} = 2 ^{\frac{1}{5}} \times 12 ^{\frac{1}{5}}$$\displaystyle = \left( 2 ^{p} \right) ^{\frac{1}{5 p}} \times \left( 12 ^{q} \right) ^{\frac{1}{5 q}}$ $\cdots \cdots$㉠ $\displaystyle 24 ^{\frac{1}{5}}$$\displaystyle = \left( 3 \times 8 \right) ^{\frac{1}{5}} = 3 ^{\frac{1}{5}} \times 8 ^{\frac{1}{5}}$$\displaystyle = \left( 3 ^{p} \right) ^{\frac{1}{5 p}} \times \left( 8 ^{q} \right) ^{\frac{1}{5 q}}$ $\cdots \cdots$㉡ $\displaystyle 24 ^{\frac{1}{5}}$$\displaystyle = \left( 4 \times 6 \right) ^{\frac{1}{5}} = 4 ^{\frac{1}{5}} \times 6 ^{\frac{1}{5}}$$\displaystyle = \left( 4 ^{p} \right) ^{\frac{1}{5 p}} \times \left( 6 ^{q} \right) ^{\frac{1}{5 q}}$ $\cdots \cdots$㉢ $\displaystyle 24 ^{\frac{1}{5}} = ( 24 ^{2} ) ^{\frac{1}{10}} = \left( 24 ^{3} \right) ^{\frac{1}{15}} = \left( 24 ^{4} \right) ^{\frac{1}{20}} = \cdots$$\cdots \cdots$㉣ 의 네 가지 경우가 있다. 한편, 두 자연수 $p$, $q$의 값이 커지면 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수도 증가한다. $2 ^{p}$, $3 ^{p}$, $4 ^{p}$, $6 ^{q}$, $8 ^{q}$, $12 ^{q}$의 값은 각각 $2$ 이상 $k$ 이하이므로 ㉠, ㉡, ㉢에서 $2 ^{6} = 64$, $3 ^{4} = 81$, $2 ^{7} = 128$, $12 ^{2} = 144$, …을 이용하여 조건을 만족하는 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수가 $59$인 경우를 찾아보자. ① $64 \leq k < 81$일 때, ㉠에서 $p = 1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $q = 1$, 즉, $5 p = 5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, $5 q = 5$이다. 그런데 $a = 2 ^{p}$, $c = 12 ^{q}$인 경우와 $a = 12 ^{q}$, $c = 2 ^{p}$인 경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는 같으므로 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $6 \times 1 \times 2 = 12$이다. ㉡에서 $p = 1$, $2$, $3$, $q = 1$, $2$, 즉, $5 p = 5$, $10$, $15$, $5 q = 5$, $10$이다. 그런데 $a = 3 ^{p}$, $c = 8 ^{q}$인 경우와 $a = 8 ^{q}$, $c = 3 ^{p}$인 경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는 같으므로 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $3 \times 2 \times 2 = 12$이다. ㉢에서 $p = 1$, $2$, $3$, $q = 1$, $2$, 즉, $5 p = 5$, $10$, $15$, $5 q = 5$, $10$이다. 그런데 $a = 4 ^{p}$, $c = 6 ^{q}$인 경우와 $a = 6 ^{q}$, $c = 4 ^{p}$인 경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는 같으므로 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $3 \times 2 \times 2 = 12$이다. 한편, 음이 아닌 세 정수 $p$, $q$, $r$와 $2$이상인 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \left( 24 ^{n} \right) ^{\frac{1}{5 n}} = \left( 2 ^{3n} \times 3 ^{n} \right) ^{\frac{1}{5 n}}$$\displaystyle = \left\{ \left( 2 ^{p} \times 3 ^{q} \right) ^{r} \times 2 ^{3n-pr} \times 3 ^{n-qr} \right\} ^{\frac{1}{5 n}}$ 이 성립한다. ㉣에서 ㉠, ㉡, ㉢ 이외의 순서쌍을 구하기 위해 위 식의 $p$, $q$, $r$, $n$에 자연수를 순차적으로 대입하자. $a$ 또는 $c$가 $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$의 거듭제곱이 아닌 경우를 모두 구하면 다음과 같다. $\displaystyle 24 ^{\frac{1}{5}} = ( 24 ^{2} ) ^{\frac{1}{10}}$$\displaystyle = 18 ^{\frac{1}{10}} \times 32 ^{\frac{1}{10}}$$\displaystyle = 18 ^{\frac{1}{10}} \times 2 ^{\frac{1}{2}} = 18 ^{\frac{1}{10}} \times 4 ^{\frac{1}{4}}$ $\displaystyle = 18 ^{\frac{1}{10}} \times 8 ^{\frac{1}{6}}$$\displaystyle = 18 ^{\frac{1}{10}} \times 16 ^{\frac{1}{8}} = 18 ^{\frac{1}{10}} \times 64 ^{\frac{1}{12}}$ $\displaystyle = 12 ^{\frac{1}{10}} \times 48 ^{\frac{1}{10}}$$\displaystyle = 72 ^{\frac{1}{10}} \times 8 ^{\frac{1}{10}}$$\displaystyle = 72 ^{\frac{1}{10}} \times 64 ^{\frac{1}{20}}$, $\displaystyle 24 ^{\frac{1}{5}} = \left( 24 ^{7} \right) ^{\frac{1}{35}} = 48 ^{\frac{1}{7}} \times 18 ^{\frac{1}{35}}$ 따라서 ㉣에서 ㉠, ㉡, ㉢ 이외의 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $k < 72$일 때 $8 \times 2 = 16$, $k \geq 72$일 때 $10 \times 2 = 20$이다. 그러므로 (ⅰ)과 (ⅱ)의 ①에서 $64 \leq k < 72$일 때 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $3 + 12 + 12 + 12 + 16 = 55$이므로 조건에 맞지 않고 $72 \leq k < 81$일 때에는 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$의 개수는 $3 + 12 + 12 + 12 + 20 = 59$이므로 조건에 맞다. 그러므로 $k$의 최솟값 $m$은 $72$이다. ② $k = 81$일 때, ㉡에서 $p = 1$, $2$, $3$, $4$, $q = 1$, $2$, 즉, $5 p = 5$, $10$, $15$, $20$, $5 q = 5$, $10$이다. ①에서 구한 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$이외에도 $4$개의 순서쌍 $\left( a , b , c , d {)} \right.$가 더 생긴다. 따라서 주어진 조건을 만족하지 않는다. 그러므로 $k$의 최댓값 $M$은 $80$이다. 따라서 $M + m = 80 + 72 = 152$이다.