대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

거듭제곱 크기 비교

문제

다음은 $11 ^{15} < 55 ^{9} < 11 ^{17} < 33 ^{13} < 11 ^{19}$ 임을 이용하여 세 수 $A = 3 ^{273}$ , $B = 5 ^{189}$ , $C = 11 ^{126}$ 의 크기를 비교하는 과정이다.

먼저 $A$ 와 $B$ 의 크기를 비교해 보자. $189$ 와 $273$ 의 최대공약수는 (가) 이므로 $\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{3 ^{273}}{5 ^{189}} = \left( \frac{3 ^{13}}{5 ^{9}} \right) ^{21}$ 이다. $11 ^{15} < 55 ^{9} < 11 ^{17} < 33 ^{13} < 11 ^{19}$ 을 이용하면 $3 ^{13}$ (나) $5 ^{9}$ 이므로 $\displaystyle \frac{A}{B}$ (나) $1$ 이다. $\therefore$ $A$ (나) $B$ 같은 방법으로 $A$ 와 $C$ , $B$ 와 $C$ 의 크기를 비교할 수 있다. 따라서 $A$ , $B$ , $C$ 의 대소 관계는 (다) 이다.

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	$21$	$>$	$B < A < C$
②	$21$	$<$	$A < C < B$
③	$21$	$<$	$C < A < B$
④	$57$	$>$	$B < C < A$
⑤	$57$	$<$	$C < A < B$

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②

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[출제의도] 지수의 크기를 비교하는 과정 추론하기 (가) (나) (다) $A < C < B$

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